Luttrell  2012 

57

 

Name: ______________________   

 

 

 

 

Date:  _____ 

 

4a- Field Axioms 

 

Simplifying any expression or solving any equation requires the use of the following axioms: 

Closure

: A set of numbers is closed if the unique sum or product of an operation is also in the 

same set.  For example: 3+8 = 11, so the set of reals would be closed, but not digits. 
 

Commutativity

: 

x

+ 

y 

= 

y + x 

or 

xy = yx. 

 The order to how the sum or product is obtain is not 

important, e.g.  2 + 1 = 1 + 2. 
 

Associativity

: How the sum or product is grouped isn’t important.  Examples can be seen in 

x

 + (

y + z

) = (

x + y

) + 

z

 or 2(3×4) = (2×3)×4. 

 
Distribution 

of 

Multiplication

 Over 

Addition

: 

x

(

y + z

) = 

xy + xz

 

 

Identity

: Zero plus any number remains that number.  One times any number remains that 

number.  For example: 0+2 = 2, 1×2 = 2.  Identity is about leaving the value unchanged! 
 

Inverse

: To obtain zero, sum the number and its opposite.  To obtain a one, multiply the number 

and its reciprocal.  The Inverse defines subtraction and division!  For example: 
 2 + (-2) = 0 which is the same as 2 - 2 = 0.  You can see it with 2(½) = 1 which is 2/2 = 1. 
 
 

1.  What is the additive inverse of ⅝? 
2.  Write an example of the distribution property. 
3.  What is the multiplicative invers

e of ⅓? 

4.  What is the multiplicative inverse of 

x

? 

5.  Rewrite the following using addition: 5 - 5 = 0. 
6.  Rewrite the following using multiplication: 5/3. 
7.  Fill in the justifications (axioms) used in the proof of the Multiplicative Property of Zero: 
 

a.  0 = 0 

 

 

 

Reflexive Property 

 

b.  0 + 0 = 0   

 

 

________________ 

 

c.  

x

(0 + 0) = 

x

(0) 

 

 

Multiplication Property of Equality 

 

d.  

x

(0+0) = 0 + 

x

(0)   

 

________________ 

 

e.  

x

(0) +

 x

(0) = 0 + 

x

(0) 

 

________________ 

 

f.  

x

(0) = 0 

 

 

 

Add/Subtraction Property of Equality 

8.  Fill in the justifications to the following problem: 
 

a.  4

x

 - 3 = 5   

 

 

Given 

 

b.  4

x

 - 3 + 3 = 5 + 3   

 

_______________,  Add Property of Equality 

 

c.  4

x

 + 0 = 8   

 

 

_______________ 

 

d.  4

x

 = 8 

 

 

 

Add Property of Zero 

 

e.  (¼)(4

x

) = (¼)(8)   

 

_______________ 

 

f.  (¼*4)

x

 = 2   

 

 

_______________ 

 

g.  1*

x

 = 2 

 

 

 

_______________ 

 

h.  

x

 = 2 

 

 

 

Identity