Pythagoras and the Pythagoreans

16

Square numbers

These numbers are clearly the squares of the integers

1, 4, 9, 16, and so on. Represented by a square of dots, they prove(?)
the well known formula

1 + 3 + 5 +

. . .

+ (2

n

−

1) =

n

2

.

1

2

3

4

5

6

1

3

5

7

9

11

Square Numbers

The

gnomon

is basically an architect’s template that marks off

”similar” shapes. Originally introduced to Greece by Anaximander,
it was a Babylonian astronomical instrument for the measurement of
time. It was made of an upright stick which cast shadows on a plane
or hemispherical surface. It was also used as an instrument to measure
right angles, like a modern carpenter’s square. Note the

gnomon

has

been placed so that at each step, the next odd number of dots is placed.
The

pentagonal

and

hexagonal

numbers are shown in the below.

Pentagonal Numbers

Hexagonal Numbers

Figurate Numbers of any kind can be calculated. Note that the se-