Pythagoras and the Pythagoreans

29

B

A

Lune

C

D

We wish to determine the area of the lune

ABCD

, where the large

segment

ABD

is similar to the smaller segment (with base on one leg

of the right isosceles triangle

4

ABC

). Because segments are to each

other as the squares upon their bases, we have the

Proposition:

The area of the large lune

ABCD

is the area of the triangle

4

ABC

.

This proposition was among the first that determined the area of a curvi-
linear figure in terms of a rectilinear figure. Quadratures were obtained
for other lunes, as well. There resulted great hope and encouragement
that the circle could be squared. This was not to be.

7

The Pythagorean Theory of Proportion

Besides discovering the five regular solids, Pythagoras also discovered
the theory of proportion. Pythagoras had probably learned in Babylon
the three basic means, the

arithmetic

, the

geometric

, and the

subcon-

trary

(later to be called the

harmonic

).

Beginning with

a > b > c

and denoting

b

as the

—mean

of

a

and

c

, they are:

1

a

−

b

b

−

c

=

a
a

arithmetic

a

+

c

= 2

b